Probabilité d'avoir ses cartes-clés dans les récompenses

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Grostef76
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Probabilité d'avoir ses cartes-clés dans les récompenses

Message par Grostef76 » 25 mars 2020, 12:28

Bonjour,

En ces temps où on passe plus de temps chez soi que dans nos ligues respectives, j'avais envie d'amener un petit sujet qui donnera du travail à nos spécialistes en analyse combinatoire.

Je m'interroge sur les probabilités de retrouver l'une ou l'autre carte-clé de nos decks dans les 6 prix/récompenses.

J'ai essayé d'un peu réfléchir au problème, mais selon que je l'aborde dans un sens ou dans l'autre, je trouve des solutions différentes et/ou trop tirées par les cheveux.

La seule solution qui me parait simple est celle où on n'a qu'une seule carte clé.

1) 1 carte clé parmi 60, (mal)chance qu'elle soit dans les 6 prix
Intuitivement, j'aurais dit 1 chance sur 10, mais je n'arrive pas à le démontrer.
J'ai essayé de 2 manières, dont ni l'une ni l'autre ne me satisfait entièrement
a) Pour la 1ere carte récompense: 1 chance sur 60 que ce soit la mauvaise, puis pareil pour les 5 autres. J'additionne les fractions et j'en arrive à 6/60, soit 1 malchance sur 10. Ca colle avec ma première intuition.
b) 59 chances sur 60 que la 1ere carte récompense ne soit pas la carte clé, à mettre à exposant 6 puisqu'il y a 6 cartes prix. J'arrive à une proba de 90,4% d'avoir la bonne carte en main. Là encore, c'est assez proche de l'intuition.

Viennent ensuite les cas où on a deux exemplaires d'une même carte clé:

2) 2 cartes clés parmi 60, aucune des deux dans les 6 prix
J'ai besoin de votre aide, mes connaissances en combinatoire sont trop éloignées.

3) 2 cartes clés parmi 60, une des deux dans les 6 prix
A priori, le cas le plus fréquent, mais pas moyen de trouver une formule qui l'explique.

4) 2 cartes clés parmi 60, les deux dans les 6 prix
Le cas le plus rare, qu'on ne veut pas avoir. Doit être inférieur à 10%, puisqu'on a doublé le nombre de cartes par rapport au cas 1).

Ce qui est certain, c'est qu'en additionnant les pourcentages des cas 2), 3) et 4), on doit arriver à 100%. :D

Vous avez des idées pour ces calculs?
SVP, ne répondez que si vous avez une solution qui tient la route au point de vue des maths. Sinon, ça va partir dans tous les sens.

Bonne journée à tous,

Stèf.

PS: maintenant, vous savez pourquoi mon avatar est un Pokémon qui a mal au crâne.

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Luby
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Re: Probabilité d'avoir ses cartes-clés dans les récompenses

Message par Luby » 25 mars 2020, 13:46

Salut,

Tout d'abord tu es dans la mauvaise section du forum. Ta question porte sur le jeu, donc elle devrait être dans la section discussion pour le jeu, pas dans les discussions de collectionneurs.

Pour répondre à ta question :
1) 1 carte clé parmi 60, (mal)chance qu'elle soit dans les 6 prix
Intuitivement, j'aurais dit 1 chance sur 10, mais je n'arrive pas à le démontrer.
J'ai essayé de 2 manières, dont ni l'une ni l'autre ne me satisfait entièrement
a) Pour la 1ere carte récompense: 1 chance sur 60 que ce soit la mauvaise, puis pareil pour les 5 autres. J'additionne les fractions et j'en arrive à 6/60, soit 1 malchance sur 10. Ca colle avec ma première intuition.
b) 59 chances sur 60 que la 1ere carte récompense ne soit pas la carte clé, à mettre à exposant 6 puisqu'il y a 6 cartes prix. J'arrive à une proba de 90,4% d'avoir la bonne carte en main. Là encore, c'est assez proche de l'intuition.
Grosso modo la bonne réponse est la réponse a, même si je trouve l'explication inexacte. Vois les choses de cette manière : tu as une carte-clé. Sur les 60 cartes de ton deck, il y a 6 cartes Récompenses, donc la probabilité que ta carte-clé soit dans les cartes Récompenses est de 6/60, autrement dit 1/10.
La réponse b ne marche pas parce que la bonne multiplication à faire n'est pas (59/60)^6. Calculons la probabilité que la carte-clé n'est pas dans les Récompenses, c'est-à-dire qu'aucune des six récompenses ne soit la carte-clé. Pose les Récompenses une à une : la première a une probabilité 59/60 de ne pas être la carte-clé. Si c'est bien le cas, la deuxième a une probabilité 58/59 de ne pas être la carte-clé, puisqu'il reste 59 cartes dans le deck dont 58 ne sont pas la carte-clé. Si les deux premières Récompenses ne sont pas la carte-clé, la troisième a une probabilité 57/58 de ne pas être la carte-clé, et ainsi de suite.
Donc la probabilité cherchée (que la carte-clé ne soit pas dans les Récompenses) est (59/60)*(58/59)*(57/58)*(56/57)*(55/56)*(54/55) = 54/60 = 9/10. En passant au complémentaire, la probabilité qu'elle soit dans les Récompenses est donc de 1 - 9/10 = 1/10.
2) 2 cartes clés parmi 60, aucune des deux dans les 6 prix
Reprenons la deuxième méthode. La probabilité que la première Récompense ne soit pas une des cartes-clé est de 58/60. Si c'est le cas, la probabilité que la deuxième Récompense ne soit pas une des cartes-clé est de 57/59, etc.
Donc la probabilité cherchée vaut : (58/60) * (57/59) * (56/58) * (55/57) * (54/56) * (53/55) = (54*53)/(59*60) ~ 0.808 (80.8% si tu préfères).
4) 2 cartes clés parmi 60, les deux dans les 6 prix
Alors on peut introduire de la combinatoire pour ça mais pour éviter d'utiliser des méthodes différentes pour répondre à des questions très similaires, on va juste réappliquer la méthode de la question précédente en inversant notre point de vue : l'événement "les deux cartes sont dans les six récompenses" est équivalent à l'événement "aucune des deux cartes n'est dans les 54 non-récompenses".
Donc on a simplement le même calcul que le précédent à faire, mais en multipliant non pas 6 probabilités mais 54 : la probabilité que la première non-récompense ne soit pas une carte-clé est de 58/60; sachant cela, que la deuxième récompense ne soit pas une carte-clé est de 57/59, etc. Le calcul final est donc
(58/60) * (57/59) * (56/58) * ... * (7/9) * (6/8) * 5/7). (Il y a 54 termes dans ce produit.)
Comme avant, quasiment tous les termes apparaissent au numérateur et au dénominateur et il reste juste : 6*5/(60*59) = 1/118 ~ 0.008. (0.8%)
3) 2 cartes clés parmi 60, une des deux dans les 6 prix
De loin la manière la plus simple de faire est d'utiliser l'observation que les probabilités des événements 2, 3 et 4 sont complémentaires. Autrement dit la probabilité cherchée ici vaut 1 - 0.808 - 0.008 = 0.184. (18.4%)


J'espère que tout ceci est clair... parce que c'est faux ! Ou plutôt, inexact.
En fait, il y a une complication supplémentaire à Pokémon, due à la contrainte d'avoir un Pokémon de base dans sa main de départ. Pour s'en convaincre, imaginons le cas débile suivant : tu as une seule carte-clé, mais c'est ton seul Pokémon de base du deck. La probabilité qu'elle soit en Récompenses n'est pas d'une chance sur dix, elle est de zéro, puisque tu devras forcément commencer la partie avec ton seul Pokémon de base dans ta main (quitte à faire des mulligans).

Les formules ci-dessus restent des bonnes approximations dans la plupart des cas normaux. En revanche, si tu veux le calcul exact, il faut calculer les probabilités cherchées en supposant qu'on a une main de départ légale (c'est-à-dire avec un Pokémon de base dedans). La vraie probabilité va dépendre de si ta carte-clé est un Pokémon de base ou non, et du nombre total de Pokémon de base dans le deck.
Si tu le veux je peux pousser les calculs plus loin, mais pour l'instant je m'arrête là parce que ça devient vite assez calculatoire et donc pénible.
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Re: Probabilité d'avoir ses cartes-clés dans les récompenses

Message par Grostef76 » 25 mars 2020, 14:14

Un énorme merci Luby pour avoir contribué à régler un de mes problèmes d'insomnie.
Désolé de ne pas avoir posté dans la bonne catégorie. Suite à ton message, j'ai voulu rattraper l'erreur, mais je ne vois pas comment un simple utilisateur peut le faire.
Comme ta méthode est extrêmement simple à comprendre, on peut recommencer gentiment l'exercice avec 3 et 4 cartes similaires (voire davantage si on veut travailler sur les cartes énergies).
Cool, une occupation utile pendant le lock down. 8)

Bon après-midi.

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Re: Probabilité d'avoir ses cartes-clés dans les récompenses

Message par Luby » 25 mars 2020, 14:41

Je t'en prie.

Pour le topic, tu ne peux pas le déplacer une fois qu'il est créé. Un modérateur le fera probablement, mais je te disais ça pour que tu saches pour la prochaine fois. ;)
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Re: Probabilité d'avoir ses cartes-clés dans les récompenses

Message par matt120 » 25 mars 2020, 15:12

allez, je déplace.
Encore une journée dans le monde du créateur...les pokémon aussi!!

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la liste des personnes avec qui j'ai troké sur mon topic principal après les recherches!!

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Re: Probabilité d'avoir ses cartes-clés dans les récompenses

Message par Willem59 » 25 mars 2020, 16:26

Je savais bien qu'il y allait avoir un prof de maths qui débarqueraient. :p

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Re: Probabilité d'avoir ses cartes-clés dans les récompenses

Message par papachu » 25 mars 2020, 17:28

Le pire avec les profs de maths, c'est qu'aucun n'a jamais dit à ses élèves qu'il faut au moins avoir le niveau CAPES en maths pour avoir une bonne chance d'être champion au JCC Pokémon. Ils se gardent le filon pour eux :(
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